主题
Search

格罗斯曼常数

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook
GrossmansConstant

定义序列 a_0=1, a_1=x, 以及

a_n=(a_(n-2))/(1+a_(n-1))
(1)

对于 n>=0。 前几个值是

a_2=1/(1+x)
(2)
a_3=(x(1+x))/(2+x)
(3)
a_4=(2+x)/((1+x)(2+2x+x^2))
(4)
a_5=(x(1+x)^2(2+2x+x^2))/((2+x)(4+5x+3x^2+x^3)).
(5)

Janssen 和 Tjaden (1987) 表明，该序列仅当 一个 值 x=c 时收敛，其中 c=0.73733830336929... (OEIS A085835)，证实了格罗斯曼的猜想。 然而，对于这个常数，无论是作为函数的根，还是作为其他常数的组合，都还没有已知的解析形式。 上图显示了 a_n 从 n=1 到 30 的前几次迭代，其中奇数 n 以红色显示，偶数 n 以蓝色显示，x 的范围从 0 到 1。 可以看出，解根据奇偶性交替。 对于每个固定的 x<c，红色值趋于 0，而蓝色值趋于某个正数。

Nyerges (2000) 将递推关系推广到函数方程

x=[1+F(x)]F^2(x).
(6)

参见

Foias 常数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Ewing, J. and Foias, C. "An Interesting Serendipitous Real Number." In Finite versus Infinite: Contributions to an Eternal Dilemma (Ed. C. Caluse and G. Păun). London: Springer-Verlag, pp. 119-126, 2000.Finch, S. R. "Grossman's Constant." §6.4 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 429-430, 2003.Grossman, J. W. "Problem 86-2." Math. Intel. 8, 31, 1986.Janssen, A. J. E. M. and Tjaden, D. L. A. Solution to Problem 86-2. Math. Intel. 9, 40-43, 1987.Michon, G. P. "Final Answers: Numerical Constants." http://home.att.net/~numericana/answer/constants.htm#grossman.Nyerges, G. "The Solution of the Functional Equation x=(1+F(x))F^2(x)." Preprint, Oct. 19, 2000. http://eent3.sbu.ac.uk/Staff/nyergeg/www/etc/fneq.pdf.Sloane, N. J. A. Sequence A085835 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中被引用

格罗斯曼常数

引用为

Weisstein, Eric W. “格罗斯曼常数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GrossmansConstant.html

主题分类