高尔顿板

高尔顿板，也称为梅花钉板或豆机，是一种用于统计实验的装置，以英国科学家弗朗西斯·高尔顿爵士的名字命名。它由一个直立的板组成，上半部分均匀间隔地钉入钉子（或木钉），钉子以交错的顺序排列，下半部分分成若干个均匀间隔的矩形槽。装置的正面覆盖着玻璃罩，以便观察钉子和槽。在上边缘的中间，有一个漏斗，可以将球倒入其中，球的直径必须远小于钉子之间的距离。漏斗精确地位于第二行中心钉子的正上方，这样，如果球完全居中，就会垂直且直接地落在该钉子表面的最顶端（Kozlov 和 Mitrofanova 2002）。上面的图显示了该板的一种变体，其中仅包括可能被从漏斗掉落的球击中的钉子，从而形成三角形阵列而不是矩形阵列。

每次球击中其中一个钉子时，它都可能以一定的概率 向右（或向左）弹跳（以及 ）。对于对称放置的钉子，球向左或向右弹跳的概率相等，因此 。如果行号从 0 到 编号，则每个下落球的路径都是由 步组成的伯努利试验。每个球穿过底行，击中从左侧数的第 个钉子（其中 ） 当且仅当 它正好进行了 次右转时，这种情况发生的概率为

因此，这个过程产生了下部槽中球堆高度的二项分布。

如果球的数量足够大且 ，那么根据弱大数定律，球堆高度的分布将近似于正态分布。

然而，要获得这些理想化的结果需要谨慎，因为球的实际分布取决于装置的物理特性，包括球的弹性（以其恢复系数为特征）、钉子的半径以及球在掉落时在漏斗开口上的偏移量（Kozlov 和 Mitrofanova 2002）。