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欧拉齐次函数定理

设 f(x,y) 为阶数为 n 的齐次函数，使得

f(tx,ty)=t^nf(x,y).
(1)

然后定义 x^'=xt 和 y^'=yt。那么

nt^(n-1)f(x,y)=(partialf)/(partialx^')(partialx^')/(partialt)+(partialf)/(partialy^')(partialy^')/(partialt)
(2)
=x(partialf)/(partialx^')+y(partialf)/(partialy^')
(3)
=x(partialf)/(partial(xt))+y(partialf)/(partial(yt)).
(4)

设 t=1，则

x(partialf)/(partialx)+y(partialf)/(partialy)=nf(x,y).
(5)

这可以推广到任意数量的变量

x_i(partialf)/(partialx_i)=nf(x),
(6)

其中使用了爱因斯坦求和约定。

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请引用为

Weisstein, Eric W. “欧拉齐次函数定理。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EulersHomogeneousFunctionTheorem.html

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