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丢番图方程——五次方

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5.1.2 五阶丢番图方程

A^5=B^5+C^5
(1)

是费马最后定理 n=5 的一个特例，因此无解。这改进了 Lander 等人 (1967) 的结果，他们检查到 2.8×10^(14)。 （事实上，对于 6 次方或 7 次方也未知有解。） 5.1.3 方程无解

A^5+B^5+C^5=D^5
(2)

是已知的 (Lander 等人 1967)。 对于 4 个五次方，5.1.4 方程有解

27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
(3)
85282^5+28969^5+3183^5+55^5=85359^5
(4)

（Lander 和 Parkin 1967，Lander 等人 1967，Ekl 1998），其中第二个解是由 J. Frye 发现的（J.-C. Meyrignac，私人通讯，9 月 9 日，2004 年），但尚不清楚是否存在参数解 (Guy 1994, p. 140)。 Sastry (1934) 找到了 5.1.5 方程的 2 参数解

(75v^5-u^5)^5+(u^5+25v^5)^5+(u^5-25v^5)^5 +(10u^3v^2)^5+(50uv^4)^5=(u^5+75v^5)^5
(5)

（引自 Lander 和 Parkin 1967），Lander 和 Parkin (1967) 找到了最小的数值解。 Lander 等人 (1967) 列出了最小解的列表，前几个是

19^5+43^5+46^5+47^5+67^5=72^5
(6)
21^5+23^5+37^5+79^5+84^5=94^5
(7)
7^5+43^5+57^5+80^5+100^5=107^5
(8)
78^5+120^5+191^5+259^5+347^5=365^5
(9)
79^5+202^5+258^5+261^5+395^5=415^5
(10)
4^5+26^5+139^5+296^5+412^5=427^5
(11)
31^5+105^5+139^5+314^5+416^5=435^5
(12)
54^5+91^5+101^5+404^5+430^5=480^5
(13)
19^5+201^5+347^5+388^5+448^5=503^5
(14)
159^5+172^5+200^5+356^5+513^5=530^5
(15)
218^5+276^5+385^5+409^5+495^5=553^5
(16)
2^5+298^5+351^5+474^5+500^5=575^5
(17)

（Lander 和 Parkin 1967，Lander 等人 1967）。 5.1.6 方程有解

4^5+5^5+6^5+7^5+9^5+11^5=12^5
(18)
5^5+10^5+11^5+16^5+19^5+29^5=30^5
(19)
15^5+16^5+17^5+22^5+24^5+28^5=32^5
(20)
13^5+18^5+23^5+31^5+36^5+66^5=67^5
(21)
7^5+20^5+29^5+31^5+34^5+66^5=67^5
(22)
22^5+35^5+48^5+58^5+61^5+64^5=78^5
(23)
4^5+13^5+19^5+20^5+67^5+96^5=99^5
(24)
6^5+17^5+60^5+64^5+73^5+89^5=99^5
(25)

（Martin 1887, 1888, Lander 和 Parkin 1967, Lander 等人 1967）。 最小的 5.1.7 解是

1^5+7^5+8^5+14^5+15^5+18^5+20^5=23^5
(26)

（Lander 等人 1967）。

5.2.2 方程无解

A^5+B^5=C^5+D^5
(27)

是已知的，尽管已经检查了高达 1.02×10^(26) 的和 (Guy 1994, p. 140)。 最小的 5.2.3 解是

14132^5+220^5=14068^5+6237^5+5027^5
(28)

（B. Scher 和 E. Seidl 1996，Ekl 1998）。 Sastry (1934) 的 5.1.5 解给出了一些 5.2.4 解。 最小的本原 5.2.4 解是

4^5+10^5+20^5+28^5=3^5+29^5
(29)
5^5+13^5+25^5+37^5=12^5+38^5
(30)
26^5+29^5+35^5+50^5=28^5+52^5
(31)
5^5+25^5+62^5+63^5=61^5+64^5
(32)
6^5+50^5+53^5+82^5=16^5+85^5
(33)
56^5+63^5+72^5+86^5=31^5+96^5
(34)
44^5+58^5+67^5+94^5=14^5+99^5
(35)
11^5+13^5+37^5+99^5=63^5+97^5
(36)
48^5+57^5+76^5+100^5=25^5+106^5
(37)
58^5+76^5+79^5+102^5=54^5+111^5
(38)

（Rao 1934, Moessner 1948, Lander 等人 1967）。 最小的本原 5.2.5 解是

4^5+5^5+7^5+16^5+21^5=1^5+22^5
(39)
9^5+11^5+14^5+18^5+30^5=23^5+29^5
(40)
10^5+14^5+26^5+31^5+33^5=16^5+38^5
(41)
4^5+22^5+29^5+35^5+36^5=24^5+42^5
(42)
8^5+15^5+17^5+19^5+45^5=30^5+44^5
(43)
5^5+6^5+26^5+27^5+44^5=36^5+42^5
(44)

（Rao 1934, Lander 等人 1967）。

已知 5.3.3 方程的参数解（Sastry 和 Lander 1934；Moessner 1951；Swinnerton-Dyer 1952；Lander 1968；Bremmer 1981；Guy 1994，pp. 140 和 142；Choudhry 1999）。 Swinnerton-Dyer (1952) 给出了 5.3.3 方程的两个参数解，但四十年后，W. Gosper 发现第二个方案存在无法修复的错误。 Choudhry (1999) 给出了更一般方程的参数解

ax^5+by^5+cz^5=au^5+bv^5+cw^5
(45)

其中 a+b+c=0。 单位系数的 5.3.3 方程的最小本原解是

24^5+28^5+67^5=3^5+54^5+62^5
(46)
18^5+44^5+66^5=13^5+51^5+64^5
(47)
21^5+43^5+74^5=8^5+62^5+68^5
(48)
56^5+67^5+83^5=53^5+72^5+81^5
(49)
49^5+75^5+107^5=39^5+92^5+100^5
(50)

（Moessner 1939, Moessner 1948, Lander 等人 1967, Ekl 1998）。

Xeroudakes 和 Moessner (1958) 给出了 5.3.4 方程的二参数解。 Gloden (1949) 也给出了一个参数解。 最小的解是

1^5+8^5+14^5+27^5=3^5+22^5+25^5
(51)

（Rao 1934, Lander 等人 1967）。

Xeroudakes 和 Moessner (1958) 找到了 5.4.4 方程的几个参数解。

最小的 5.4.4 解是

5^5+6^5+6^5+8^5=4^5+7^5+7^5+7^5
(52)

（Rao 1934, Lander 等人 1967）。 第一个 5.4.4.4 方程是

3^5+48^5+52^5+61^5=13^5+36^5+51^5+64^5
(53)
=18^5+36^5+44^5+66^5
(54)

（Lander 等人 1967）。

Moessner 和 Gloden (1944) 给出了 5.5.6 解

22^5+17^5+16^5+6^5+5^5=21^5+20^5+12^5+10^5+2^5+1^5.
(55)

陈树文找到了 5.6.6 解

87^5+233^5+264^5+396^5+496^5+540^5=90^5+206^5+309^5+366^5+522^5+523^5.
(56)

另请参阅

多重等式

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参考文献

Berndt, B. C. 拉马努金笔记本，第四部分。 New York: Springer-Verlag, p. 95, 1994.Bremner, A. "求五次方和的几何方法。" J. Number Th. 13, 337-354, 1981.Choudhry, A. "丢番图方程 ax^5+by^5+cz^5=au^5+bv^5+cw^5。" Rocky Mtn. J. Math. 29, 459-462, 1999.Dutch, S. "五次方和更高次方和。" http://www.uwgb.edu/dutchs/RECMATH/rmpowers.htm#5power.Ekl, R. L. "同次方等和的新结果。" Math. Comput. 67, 1309-1315, 1998.Gloden, A. "关于多重次数方程。" Arch. Math. 1, 482-483, 1949.Guy, R. K. "同次方和。欧拉猜想。" §D1 in 数论中未解决的问题，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 139-144, 1994.Lander, L. J. "涉及同次方等和的丢番图方程的几何方面。" Amer. Math. Monthly 75, 1061-1073, 1968.Lander, L. J. and Parkin, T. R. "欧拉幂和猜想的反例。" Math. Comput. 21, 101-103, 1967.Lander, L. J.; Parkin, T. R.; and Selfridge, J. L. "同次方等和的综述。" Math. Comput. 21, 446-459, 1967.Martin, A. "寻找和为 n 次方的 n 次方数的方法；附带例子。" Bull. Philos. Soc. Washington 10, 107-110, 1887.Martin, A. Smithsonian Misc. Coll. 33, 1888.Martin, A. "关于和为五次方的五次方数。" Math. Mag. 2, 201-208, 1896.Meyrignac, J.-C. "计算同次方等和的最小值。" http://euler.free.fr.Moessner, A. "一些数值恒等式。" Proc. Indian Acad. Sci. Sect. A 10, 296-306, 1939.Moessner, A. "一些数论研究和丢番图问题。" Bol. Soc. Mat. Mexicana 2, 36-39, 1948.Moessner, A. "两个丢番图系统。" Boll. Un. Mat. Ital. 6, 117-118, 1951.Moessner, A. and Gloden, A. "一些数论研究和结果。" Bull. Sci. École Polytech. de Timisoara 11, 196-219, 1944.Rao, K. S. "关于五次方和。" J. London Math. Soc. 9, 170-171, 1934.Sastry, S. and Chowla, S. "关于次方和。" J. London Math. Soc. 9, 242-246, 1934.Swinnerton-Dyer, H. P. F. "A^5+B^5+C^5=D^5+E^5+F^5 的解。" Proc. Cambridge Phil. Soc. 48, 516-518, 1952.Xeroudakes, G. and Moessner, A. "关于同次方等和。" Proc. Indian Acad. Sci. Sect. A 48, 245-255, 1958.

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "丢番图方程——五次方。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/DiophantineEquation5thPowers.html

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