自避行走连接常数 -- 来自 Wolfram MathWorld

自避行走连接常数

设随机游走在维超立方晶格上从原点出发，在步内从不落在同一个晶格点上的数量记为。前几个值为

			(1)
			(2)
			(3)

一般来说，

(4)

（Pönitz 和 Tittman 2000），更严格的界限由 Madras 和 Slade (1993) 给出。Conway 和 Guttmann (1996) 枚举了长度达 51 的游走。

在任何晶格上，将自避行走分成两段会产生两个自避行走，但连接两个自避行走不一定保持自避性质。令表示在维度晶格中，步的自避行走的数量。那么上述观察告诉我们，且 Fekete 引理表明

(5)

称为晶格的连接常数，存在且是有限的。这些常数的最佳范围是

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

（Beyer 和 Wells 1972，Noonan 1998，Finch 2003）。的上限改进了 Noonan (1998) 发现的 2.6939，由 Pönitz 和 Tittman (2000) 计算得出。

对于平面上的三角晶格， (Alm 1993)，对于六边形平面晶格，据推测为

(11)

（Madras 和 Slade 1993）。

以下极限也被认为存在且是有限的

${lim_(n->infty)(c(n))/(mu^nn^(gamma-1)) for d!=4; lim_(n->infty)(c(n))/(mu^nn^(gamma-1)(lnn)^(1/4)) for d=4,$

(12)

其中对于临界指数 (Madras 和 Slade 1993)，并且据推测

gamma={(43)/(32) for d=2; 1.162... for d=3; 1 for d=4.

(13)

定义所有步自避行走的均方位移为

			(14)
			(15)

以下极限被认为存在且是有限的

${lim_(n->infty)(s(n))/(n^(2nu)) for d!=4; lim_(n->infty)(s(n))/(n^(2nu)(lnn)^(1/4)) for d=4,$

(16)

其中对于临界指数 (Madras 和 Slade 1993)，并且据推测

nu={3/4 for d=2; 0.59... for d=3; 1/2 for d=4.

(17)

另请参阅

随机游走, 自避行走

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更多尝试

参考文献

Alm, S. E. "自避行走连接常数的上限。" Combin. Probab. Comput. 2, 115-136, 1993.Beyer, W. A. 和 Wells, M. B. "方格晶格上自避行走连接常数的下限。" J. Combin. Th. A 13, 176-182, 1972.Conway, A. R. 和 Guttmann, A. J. "方格晶格自避行走和标度修正。" Phys. Rev. Lett. 77, 5284-5287, 1996.Finch, S. R. "自避行走常数。" §5.10 in 数学常数。 英国剑桥：剑桥大学出版社，pp. 331-339, 2003.Madras, N. 和 Slade, G. 自避行走。 马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser, 1993.Noonan, J. "自避行走连接常数的新上限。" J. Stat. Phys. 91, 871-888, 1998.Pönitz, A. 和 Tittman, P. "

中自避行走的改进上限。" Electronic J. Combinatorics 7, No. 1, R21, 1-19, 2000. http://www.combinatorics.org/Volume_7/Abstracts/v7i1r21.html.

在 Wolfram|Alpha 上引用

自避行走连接常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "自避行走连接常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Self-AvoidingWalkConnectiveConstant.html

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