主题
Search

Riemann-Siegel 积分公式

Riemann-Siegel 积分公式是以下 xi 函数 xi(s) 的表示，由 Bessel-Hagen 于 1926 年在 Riemann 的遗稿中发现 (Siegel 1932; Edwards 2001, p. 166)。该公式本质上是

(2xi(s))/(s(s-1))=F(s)+F(1-s^_)^_,
(1)

其中

F(s)=Gamma(1/2s)pi^(-s/2)int_(0->1)(e^(-inx^2)x^(-s)dx)/(e^(ipix)-e^(-ipix)),
(2)

符号 0->1 表示积分路径是斜率为 -1 的直线，该直线穿过 0 和 1 之间的实轴，方向从左上到右下，其中 x^(-s) 在割裂平面（排除 0 和负实数）上定义，通过取 lnx 在正实轴上为实数并设置 x^(-s)=e^(-slnx) (Edwards 2001, p. 167)。这里，F(s) 在 -2、-4、... 处解析，并在 0 处有一个简单极点。

该公式给出了函数方程的证明

xi(s)=xi(1-s).
(3)

另请参阅

Xi 函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Edwards, H. M. "Riemann-Siegel 积分公式" 和 "积分公式的另一种证明"。§7.9 和 12.6 in Riemann 的 Zeta 函数。 New York: Dover, pp. 165-170 和 273-278, 2001。Kuzmin, R. "关于 Dirichlet 级数的根。" Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Math. Nat. Sci. 7, 1471-1491, 1934。Siegel, C. L. "关于 Riemann 关于解析数论的遗稿。" Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2, 45-80, 1932。 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966。

在 Wolfram|Alpha 中引用

Riemann-Siegel 积分公式

引用为

Weisstein, Eric W. "Riemann-Siegel 积分公式。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Riemann-SiegelIntegralFormula.html

主题分类