最小二乘拟合--垂直偏移

在实践中，通常最小化的是来自直线（多项式、曲面、超平面等）的垂直偏移，而不是垂直偏移。 这为自变量 提供了一个拟合函数，用于估计给定 的 （通常是实验者想要的），允许简单地纳入数据点沿 轴和 轴的不确定性，并且还为拟合参数提供了比基于垂直偏移的拟合获得的更简单的解析形式。

对于一组 个点，使用点 的未平方垂直距离 的最佳拟合线的残差由下式给出

由于从直线 到点 的垂直距离由下式给出

要最小化的函数是

不幸的是，由于绝对值函数不具有连续导数，因此最小化 不利于解析解。 然而，如果垂直距离的平方

被最小化，则问题可以以闭合形式解决。 当满足以下条件时， 达到最小值

和

前者给出

后者给出

但是

所以 (10) 变为

将 (◇) 代入 (14) 然后给出

经过相当多的代数运算后，结果是

所以定义

二次公式给出

其中 使用 (◇) 找到。 请注意公式中最佳拟合参数的相当笨拙的形式。 此外，对于二阶或更高阶多项式最小化 会导致具有更高阶的多项式方程，因此这种公式无法扩展。