Borel正则化求和

数学家在研究超几何函数 的收敛情况 () 方面取得了巨大的成功，这促使人们尝试为 的发散情况下的此类函数提供解释。Emile Borel 在 1899 年提出了一个有趣的解释这些发散级数求和的方法。根据定义，任意级数的广义 Borel 求和

(1)

是积分的值

(2)

其中 。

这个定义允许将发散超几何级数的求和解释为广义 Borel 求和，其中这些 Borel 求和总是与其他收敛的超几何级数一致。

考虑一个与函数 的渐近公式相关的例子，从关系式开始

(3)

上述公式的右侧可以解释为经典发散级数 的 Borel 求和（其中 ）。选择 使得

(4)

那么

(5)

因此，发散级数 的 Borel 正则化求和 等于

			(6)
			(7)

然而，Borel 的发散级数求和方法对于超几何级数没有进行深入研究；对于超几何级数，最有效的结果是在之后使用 Mellin-Barnes 积分 找到的。